Materias Vestibulando: Progressão Aritmética ( P.A )

Observe a seqüência abaixo:
( 2, 5, 8, 11, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3

Assim:

Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r.
Exemplos:
• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.

• (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.

• (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.

A razão tem algumas particularidades como:
• r > 0, dizemos que a P.A é crescente
• r < r =" 0,"> TERMO GERAL DA P.A.

Considerando a P.A (a₁, a₂, a₃, a₄, ...., a_n) de razão r. Temos:
• a₂ - a₁ = r → a₂ = a_{1 + r}

• a₃ - a₂ = r → a₃ = a_{2 + r} → a₃ = a_{1 + 2r}

• a₄ – a₃ = r → a₄ = a_{3 + r} → a4 = a_{1 + 3r}
. . .

. . .

. . .
Assim:

an = a1 + ( n – 1) . r

Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termos geral de uma P.A.

Exmplo:

Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):

Para efetuarmos os calulos é necessário que retiremos os dados necessários.
Como: a₁ = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º termo da P.A.
a₂₀ = 26 + ( 20 – 1) . 5
a₂₀ = 26 + 19 . 5
a₂₀ = 26 + 95
a₂₀ = 121
Conclimos que o 20º termo dessa P.A é 121.

NOTAÇÕES ESPECIAIS

Para determinar uma P.A apartir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios.

• Para três termos em P.A, podemos escrever:
( x – r , x , x + r )

• Para cinco termos em P.A, podemos escrever:
(x – 2r , x – r , x , x + r , x – 2r )

Exemplo:

Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A

A fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso:
Considere a P.A (a₁, a₂, a₃, ..., a_{n - 2}, a_{n – 1} , ... , a_n, … ) Indiquemos a soma dos n primeiros termos por S_n. Temos então:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_{n – 2} + a_{n - 1} + a_n ou
S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + ... +a₃ + a₂ + a₁

Somando essas igualdades membro a membro, obtemos: