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terça-feira, 10 de agosto de 2010

Progressão Aritmética ( P.A )

Observe a seqüência abaixo:
( 2, 5, 8, 11, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3


Assim:

Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r.
Exemplos:
• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.


• (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.


• (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.

A razão tem algumas particularidades como:
• r > 0, dizemos que a P.A é crescente
• r < r =" 0,"> TERMO GERAL DA P.A.

Considerando a P.A (a1, a2, a3, a4, ...., an) de razão r. Temos:
• a2 - a1 = r → a2 = a1 + r


• a3 - a2 = r → a3 = a2 + r a3 = a1 + 2r


• a4 – a3 = r → a4 = a3 + r a4 = a1 + 3r
. . .

. . .

. . .
Assim:

an = a1 + ( n – 1) . r

Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termos geral de uma P.A.

Exmplo:


Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):


Para efetuarmos os calulos é necessário que retiremos os dados necessários.
Como: a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º termo da P.A.
a20 = 26 + ( 20 – 1) . 5
a20 = 26 + 19 . 5
a20 = 26 + 95
a20 = 121
Conclimos que o 20º termo dessa P.A é 121.


NOTAÇÕES ESPECIAIS

Para determinar uma P.A apartir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios.

• Para três termos em P.A, podemos escrever:
( x – r , x , x + r )


• Para cinco termos em P.A, podemos escrever:
(x – 2r , x – r , x , x + r , x – 2r )

Exemplo:


Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A

A fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso:
Considere a P.A (a1, a2, a3, ..., an - 2, an – 1 , ... , an, … ) Indiquemos a soma dos n primeiros termos por Sn. Temos então:


Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an - 1 + an ou
Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... +a3 + a2 + a1

Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:


Exemplo:

Temos a P.A ( 1,3,5,7,...) . Encontre o seu 18º termo e a soma da sequencia até ele.


an=a1 + (n-1).r

sabemos que a1=1 , r=2 e n=18

a18=a118=1+17.2 = 35

Agora vamos achar a soma dos 18 primeiros termos dessa P.A:



S18= 18.( a18 + a1 ) / 2
S18 = 18.36 / 2
S18 = 324

Clique na foto para abri-la melhor.


C*

Um comentário:

  1. A P.A de 5 termos de notação especial, no último termo (x-2r), na verdade é x+2r, visto que vai acrescentando r, a razão..

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