Divisão de números complexos

Ao dividirmos dois números complexos devemos escrevê-los em forma de fração e multiplicarmos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, veja como:

Dado dois números complexos z₁ e z₂, para efetuarmos a divisão dos dois devemos seguir a seguinte regra:
z₁ : z₂ = z₁ .
z₂



De uma forma geral podemos demonstrar a divisão de dois números complexos por:

Dado z1 = a + bi e z2 = c + di a divisão de z1 : z2 será:





C*

Números Complexos

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i. ( soma-se parte real com real e imaginaria com imaginaria)

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc ) i. ( distribuição )

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i²
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.


C*

Soma dos termos de uma P.G infinita

A soma dos termos de uma progressão geométrica finita é dada pela expressão:

, onde q (razão) é diferente de 1. Alguns casos em que a razão q pertence ao intervalo –1 <>qⁿ tende ao valor zero. Portanto, substituindo qⁿ por zero na expressão da soma dos termos de uma PG finita teremos uma expressão capaz de determinar a soma dos termos de uma PG infinita dentro do intervalo –1 <>

Exemplo 1

Determine a soma dos elementos da seguinte PG: .

Exemplo 2

A expressão matemática da soma dos termos de uma PG infinita é recomendada na obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica simples ou composta. Observe a demonstração.
Considerando a dízima periódica simples 0,222222 ..., vamos determinar sua fração geratriz.

Exemplo 3

Vamos determinar a fração que origina o seguinte número decimal 0,231313..., classificado como uma dízima periódica composta.

Exemplo 4

Determine a soma dos elementos da progressão geométrica dada por (0,3; 0,03; 0,003; 0,0003; ...).

C*

Progressão Geometrica (P.G)

Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:

(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.

4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2

O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.

Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:

Com base nessa expressão, temos que:

a₂ = a₁ * q
a₃ = a₁ * q²
a₅ = a₁ * q⁴
a₁₀ = a₁ * q⁹
a₅₀ = a₁*q⁴⁹
a₁₀₀ = a₁*q⁹⁹


Exemplo 1

Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.

a₈ = 4 * 3⁷
a₈ = 4 * 2187
a₈ = 8748

O 8º termo da PG descrita é o número 8748.

Exemplo 2

Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.


a₂₀ = 3 * 3¹⁹
a₂₀ = 4 * 1.162.261.467
a₂₀ = 4.649.045.868



Soma dos termos de uma PG

A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.

Exemplo 4

Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os foram os seguintes:

Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08

Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.

Os termos estão em progressão geométrica, observe:

106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02

A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:

Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.317,39.




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C*

Progressão Aritmética ( P.A )

Observe a seqüência abaixo:
( 2, 5, 8, 11, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3

Assim:

Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r.
Exemplos:
• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.

• (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.

• (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.

A razão tem algumas particularidades como:
• r > 0, dizemos que a P.A é crescente
• r < r =" 0,"> TERMO GERAL DA P.A.

Considerando a P.A (a₁, a₂, a₃, a₄, ...., a_n) de razão r. Temos:
• a₂ - a₁ = r → a₂ = a_{1 + r}

• a₃ - a₂ = r → a₃ = a_{2 + r} → a₃ = a_{1 + 2r}

• a₄ – a₃ = r → a₄ = a_{3 + r} → a4 = a_{1 + 3r}
. . .

. . .

. . .
Assim:

an = a1 + ( n – 1) . r

Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termos geral de uma P.A.

Exmplo:

Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):

Para efetuarmos os calulos é necessário que retiremos os dados necessários.
Como: a₁ = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º termo da P.A.
a₂₀ = 26 + ( 20 – 1) . 5
a₂₀ = 26 + 19 . 5
a₂₀ = 26 + 95
a₂₀ = 121
Conclimos que o 20º termo dessa P.A é 121.

NOTAÇÕES ESPECIAIS

Para determinar uma P.A apartir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios.

• Para três termos em P.A, podemos escrever:
( x – r , x , x + r )

• Para cinco termos em P.A, podemos escrever:
(x – 2r , x – r , x , x + r , x – 2r )

Exemplo:

Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A

A fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso:
Considere a P.A (a₁, a₂, a₃, ..., a_{n - 2}, a_{n – 1} , ... , a_n, … ) Indiquemos a soma dos n primeiros termos por S_n. Temos então:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_{n – 2} + a_{n - 1} + a_n ou
S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + ... +a₃ + a₂ + a₁

Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:

Exemplo:

Temos a P.A ( 1,3,5,7,...) . Encontre o seu 18º termo e a soma da sequencia até ele.

a_n=a₁ + (n-1).r

sabemos que a₁=1 , r=2 e n=18

a₁₈=a<sub>118=1+17.2 = 35

Agora vamos achar a soma dos 18 primeiros termos dessa P.A:</sub>

S₁₈= 18.( a₁₈ + a₁ ) / 2
S₁₈ = 18.36 / 2
S₁₈ = 324

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C*

Juros Compostos

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?

A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.



No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.

Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:

M = C * (1 + i)^t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação

Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.

Exemplo 1
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?

C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses

M = C * (1 + i)^t
M = 7000 * (1 + 0,015)¹²
M = 7000 * (1,015)¹²
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.

Exemplo 2
Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ 10.145,93?

C: R$ 8.000,00
M: R$ 10.145,93
t: 12
i: ?


A taxa de juros da aplicação foi de 2%.


Calculando o tempo da aplicação. (Uso de técnicas de logaritmo)

Exemplo 3 ( Esse é oque mais cai em vestibular )
Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que produza um montante de R$ 1.444,89?

C: R$ 800,00
M: R$ 1.444,89
i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03
t: ?

1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)^t
1.444,89 = 800 * 1,03^t
1.444,89/800 = 1,03^t
1,03^t = 1,806 (aplicar propriedade dos logaritmos)
log1,03^t = log1,806
t * log1,03 = log1,806
t * 0,013 = 0,257
t = 0,257/0,013
t = 20

O capital deverá ficar aplicado por 20 meses.


C*

Juros Simples

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.
A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:

J = C * i * t, onde

J = juros
C = capital
i = taxa de juros
t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...)

M = C + J

M = montante final
C = capital
J = juros

Exemplo 1

Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses?

Capital: 1200
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)
t = 10 meses

J = C * i * t
J = 1200 * 0,02 * 10
J = 240

M = C + j
M = 1200 + 240
M = 1440

O montante produzido será de R$ 1.440,00.

Exemplo 2

Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?

M=C+J
M=C+C*i*t

M = C * [1 + (i *t)] ( Colocamos o C em evidencia )

2C = C * [1 + (0,02 * t)]
2C = C * 1 + 0,02t
2C/C = 1 + 0,02t
2 = 1 + 0,02t
2 – 1 = 0,02t
1 = 0,02t
t = 1 / 0,02
t = 50

O tempo para que o capital aplicado a uma taxa mensal de 2% dobre é de 50 meses.


C*